传递函数 / FRF

频率响应函数(FRF)将线性系统的输入-输出关系描述为频率的函数。它是试验模态分析、结构动力学和声学中的基础测量，同时提供关于系统响应的幅值和相位信息。

定义

FRF H(f) 将线性时不变系统的输出谱 Y(f) 与输入谱 X(f) 联系起来：

Y(f) = H(f) · X(f)

在实践中，输入或输出信号上的测量噪声要求使用谱平均和特定的估计器公式，才能获得对真实 FRF 的可靠估计。

H1 估计器使输出信号上的噪声影响最小化：

H₁(f) = S_xy(f) / S_xx(f)

当输入(激励)信号具有良好信噪比且噪声主要存在于输出(响应)时，H1 是首选估计器。这是力锤测试和振动台激励中最常见的情形。

H2 估计器使输入信号上的噪声影响最小化：

H₂(f) = S_yy(f) / S_yx(f)

当输入信号有噪声时 H2 更为合适，例如在运行环境中测量、有额外的未测量力作用于结构时。

Hv(或 Hc)估计器在两个通道上都存在噪声时给出无偏估计。它通过求解一个考虑输入和输出两端噪声的特征值问题来计算：

Hv = 使两个通道上的总体最小二乘误差最小的解

Hv 估计器给出的幅值始终介于 H1 与 H2 之间。当相干性高(γ² > 0.9)时，三种估计器收敛到相同的值。

估计器与相干性之间的关系为： γ² = H₁ / H₂。此恒等式为你的测量数据提供了一个有用的交叉校验。

根据输入和输出的物理量不同，可得到不同的 FRF 类型：

FRF 类型	输入	输出	单位
位移导纳(柔度)	力	位移	m/N
速度导纳(移动率)	力	速度	(m/s)/N
加速度导纳(惯性率)	力	加速度	(m/s²)/N
动刚度	位移	力	N/m
机械阻抗	速度	力	N·s/m
视在质量	加速度	力	N/(m/s²) = kg

FRF 的逆 FFT 给出时域中的脉冲响应函数(IRF)。IRF 表示系统对单位脉冲(狄拉克 δ)的响应，包含与 FRF 相同的信息：

h(t) = IFFT{ H(f) }

IRF 可用于验证测量质量(它应在 FFT 块长度内衰减到零)，以及用于时域模态参数提取方法，如 Ibrahim 时域(ITD)法。

最常见的显示格式将 FRF 幅值(以 dB 或线性刻度)和相位(以度)显示为频率的函数。在共振处，对于轻阻尼单自由度系统，幅值出现峰值，相位发生 180 度相移。

分别显示实部和虚部对模态参数估计很有用。对于比例阻尼系统，速度导纳 FRF 的虚部在共振处出现峰值，而实部过零。

奈奎斯特图将 FRF 显示为复平面(实部 vs 虚部)中的一条曲线。每个共振表现为一个圆，圆的直径与模态阻尼比相关。

FRF 矩阵是试验模态分析算法的主要输入。一个完整的 FRF 矩阵由所有激励点和响应点组合(或足够的子集) 处的测量组成。关键考虑因素包括：

力锤测试期间的连击会在力谱中造成陷波，导致受影响频率处相干性差、FRF 值不可靠。在接受一次测量之前，请务必检查力的时域信号和自谱。