第 3 步：分析算法

谛耳提供三种曲线拟合算法，用于从实测 FRF 数据中提取模态参数。三者均为多参考频域方法，能够处理密集模态和高模态密度。

算法概览

算法	全称	方法	最适合
PolyProMax	Polyreference Pro Maximum	标准 LSCF + PolyMAX-Plus 三判据稳定化（频率 + 阻尼 + 振型 MAC，取中值）+ LSCE 交叉核对	通用；推荐默认（无漂移）
LSCF	Least Squares Complex Frequency	Z 域多参考拟合；对标世界级模态求解器	密集模态数据；匹配参考软件
LSCE	Least Squares Complex Exponential	时域伴随矩阵特征值分解	分离良好的模态、脉冲响应数据

PolyProMax（推荐）

PolyProMax 是谛耳的旗舰模态分析算法。它通过交叉验证策略结合 LSCF 与 LSCE 的优势，自动识别并仅保留具有物理意义的极点。

工作原理

LSCF 核心：在 z 域中对 FRF 矩阵拟合公共分母多项式（多参考）。PolyProMax 采用标准的逐阶独立后端，因此极点频率不随模型阶次漂移。
PolyMAX-Plus 稳定化：使用仿照业界标准 PolyMAX Plus 方法的三判据测试——频率 + 阻尼 + 参与矢量 MAC——跨模型阶次对极点聚类，并取聚类的中值频率。这将物理模态与数学极点分离，并使频率保持稳定。
LSCE 交叉验证：独立地从脉冲响应（FRF 的逆 FFT）中提取极点，并标记在两个域中都得到确认的模态。
MAC 正交性筛选：通过模态置信度判据剔除近似重复的模态。

结果是一组无漂移的物理模态：无论选择何种最大模型阶次，模态频率都稳定在不到 1 Hz 的范围内。

H(ω) = Σ_r [ A_r / (jω - λ_r) + A_r* / (jω - λ_r*) ]

FRF 矩阵的部分分式模型，其中 λ_r 为极点，A_r 为留数矩阵。

稳定化与交叉验证容差

参数	默认值	说明
频率容差	1.0%	极点跨模型阶次被判为"稳定"的最大相对频率变化（PolyMAX-Plus 判据 1）。
阻尼容差	5%	跨模型阶次的最大相对阻尼变化（判据 2）。
参与矢量 MAC	0.98	跨模型阶次的最小振型 MAC——剔除数学极点的第三条 PolyMAX-Plus 判据。
最小稳定计数	5	极点被接受所需保持稳定的最少连续阶次数。
LSCE 交叉验证 MAC	0.90	用于 LSCE 交叉核对中匹配 / 去重的 MAC。

LSCF（独立使用）

最小二乘复频率方法在 z 域中直接对 FRF 数据操作，无需转换为脉冲响应。

理论

LSCF 将 FRF 矩阵建模为右矩阵分式描述：

[H(z)] = [N(z)] [D(z)]^-1

其中 [D(z)] = Σ_k=0^p [α_k] z^k 是 p 阶的公共分母多项式矩阵，[N(z)] 是分子多项式矩阵。

通过最小化线性化的最小二乘代价函数求出分母系数。随后从由 [α_k] 系数构成的伴随矩阵的特征值中提取极点。

优点

对高模型阶次（可达 100 阶以上）数值稳定。
能很好地处理密集和重阻尼模态。
稳态图清爽，数学极点比时域方法更少。

后端与基准对齐

LSCF 引擎提供两种多参考后端：

TimeEfficient（默认）——标准 LSCF 形式；当结果需要与其它成熟模态工具相比较时使用它。注意：与经典 LSCF 一样，逐阶极点频率会随所选最大模型阶次略有移动。
标准（Standard）——每个模型阶次独立构建其方程，因此极点频率不随最大模型阶次漂移。这是教科书式的 PolyMAX 行为，也是 PolyProMax 所基于的后端。

LSCE（独立使用）

最小二乘复指数方法作用于由实测 FRF 逆 FFT 得到的脉冲响应函数（IRF）。

理论

IRF 被建模为复指数之和：

h(t) = Σ_r=1^2N C_r e^{λ_r t}

由 IRF 样本构成一个分块 Toeplitz 矩阵。伴随矩阵的特征值分解得出系统极点 λ_r，由此计算固有频率和阻尼比：

f_n = |λ_r| / (2π) , ζ = -Re(λ_r) / |λ_r|

优点

与物理脉冲响应有直观关联。
非常适合力锤测试数据。
对中小模型阶次的计算成本较低。

注意：由于伴随矩阵对数值误差敏感，LSCE 在高模型阶次时可能产生嘈杂的稳态图。对于高阶分析，请考虑使用 PolyProMax 或 LSCF。

模型阶次选择

模型阶次决定算法尝试拟合多少个极点。阶次过低会遗漏物理模态；阶次过高会引入数学极点。

手动选择

设置最小与最大模型阶次。算法在此范围内的所有阶次上运行，并在稳态图上显示极点。推荐起始值：

参数	默认值	指南
最小阶次	2	至少为预期模态数的 2 倍。
最大阶次	60	若模态缺失则增大；若图形杂乱则减小。
阶次步长	2	步长为 2 是标准做法（极点成共轭对出现）。

Auto AI 模式

启用 Auto AI 让谛耳根据数据特征自动确定最优模型阶次范围：

算法分析 FRF 求和以估计可见共振的数量。
将模型阶次范围设为估计模态数的 2 倍至 4 倍。
计算后，使用聚类算法预选稳定极点。

提示：Auto AI 模式对不熟悉的数据集是一个良好的起点。请在稳态图上审阅自动选择的极点，必要时手动调整。

频率范围设置

将分析限制在关注的频率范围内，以提升计算效率和极点质量：

参数	默认值	说明
下限频率	0 Hz	分析频带的起点。设在任何直流偏移伪影之上。
上限频率	奈奎斯特	分析频带的终点。设在噪声本底截止之下。

收窄频率范围可减少算法必须拟合的极点数量，并产生更清爽的稳态图。对于宽带数据集，可考虑将分析拆分为子频带。

FRF 求和模式

FRF 求和作为背景叠加显示在稳态图上，帮助直观识别共振频率。谛耳提供三种求和模式：

模式	公式	使用场景
求和	Σ \|H_ij(f)\|	默认。显示整体响应幅值。峰指示共振。
RMS 平均	√( Σ \|H_ij(f)\|² / N )	按通道数归一化。更适合比较 FRF 数量不同的数据集。
最大包络	max( \|H_ij(f)\| )	显示所有通道中的最大响应。确保不会有共振被平均所掩盖。

运行分析

从算法下拉列表中选择算法。
使用下限和上限频率字段设置频率范围。
设置模型阶次范围或启用 Auto AI。
点击运行（或按 F5）。
计算完成后出现稳态图。解读方法参见稳态图。

性能：计算时间取决于 FRF 数量、频率分辨率和模型阶次范围。对于大型数据集（100 个以上 FRF），预计需 10–60 秒。计算期间会显示进度条。