FFT 平均

FFT 平均通过合并多个谱数据块来降低谱估计的随机变异性(方差)。由于随机信号的单次 FFT 具有 100% 的归一化随机误差，因此平均对于获得可靠、可重复的谱测量至关重要。

理论

对于平稳随机信号，平均功率谱的归一化随机误差 ε 随独立平均次数 n_d 减小：

ε = 1 / √n_d

100 次平均时随机误差为 10%，400 次平均时为 5%。这一基本关系决定了测量时长与谱可靠性之间的权衡。

每个频谱对最终结果的贡献相等。经过 n 个数据块后，平均谱为：

S_avg(f) = (1/n) ∑_k=1ⁿ S_k(f)

线性平均是平稳信号的标准模式。它给出最小方差估计，是有效计算相干函数和传递函数的必要条件。达到指定平均次数后测量即停止。

较新的频谱比较旧的加权更大，提供持续更新的估计以跟踪缓慢的谱变化：

S_avg^(k)(f) = α · S_k(f) + (1 − α) · S_avg^(k−1)(f)

权重因子 α = 1/n_eff 控制有效记忆长度。指数平均持续运行且不会停止，适用于对缓变声源的实时监测。

保留每个频率格点上的最大值。详见 FFT 峰值保持。

为了在不延长测量时间的前提下提高平均速率，可以让连续的 FFT 数据块相互重叠。重叠百分比决定了每个数据块中引入多少个新采样点：

重叠率	每块新采样点	有效平均速率	推荐窗
0%	N	1×	矩形(无窗)
50%	N/2	~1.9× (Hanning)	Hanning
66.7%	N/3	~2.6× (Hanning)	Hanning
75%	N/4	~3.4× (Hanning)	Flat Top、Kaiser

重叠的数据块在统计上并不独立。有效独立平均次数 n_d 始终小于处理的数据块总数。其改善因子取决于窗函数。对于 50% 重叠的 Hanning 窗，每 2 个数据块约获得 1.89 次独立平均。

所需的平均次数取决于期望的置信水平和信号特性：

平均不足是频谱分析中最常见的误差来源之一。仅 5 次平均的频谱随机误差为 45%，这意味着对同一信号重复测量时，单个谱峰之间可能相差高达 3–4 dB。