自相关/互相关

相关函数将两个信号(或信号与其自身)之间的统计相似度量化为时移 τ 的函数。它们是时延估计、声源识别和周期性检测的基础工具。

定义

信号 x(t) 的自相关衡量其在不同时间滞后下的自相似度：

R_xx(τ) = lim_T→∞ (1/T) ∫₀^T x(t) · x(t + τ) dt

在 τ = 0 处，自相关等于信号的均方值。周期分量在 R_xx(τ) 中表现为周期性峰值，因此可用于检测噪声信号中隐藏的周期性。

信号 x(t) 与 y(t) 之间的互相关将它们的相互相似度量化为相对时移的函数：

R_xy(τ) = lim_T→∞ (1/T) ∫₀^T x(t) · y(t + τ) dt

R_xy(τ) 的峰值指示两个信号最相似时对应的时延，可直接得出两个测量位置之间的传播时延。

归一化互相关消除了幅值依赖性，得到一个介于 −1 与 +1 之间的无量纲系数：

ρ_xy(τ) = R_xy(τ) / √(R_xx(0) · R_yy(0))

互相关的主要应用是确定两个传感器之间的传播时间。如果 R_xy(τ) 的峰值出现在 τ = τ₀，则信号到达传感器 y 相对于传感器 x 存在 τ₀ 的时延。结合已知的传感器间距 d，传播速度为：

c = d / τ₀

对于使用多个传感器对的声源定位，基于测得的各个时延进行三角定位，即可给出噪声源的空间坐标。

当两个信号在同一频率上都含有很强的周期分量时，无论声源在物理上是否相关，互相关都会呈现出周期性峰值。请使用相干函数来区分因果相关的信号和偶然的频率吻合。